Отец — слесарь Владимир Григорьевич, мать — домохозяйка Евдокия Романовна. В детстве часто посещал Одесский оперный театр, в 14 лет он устроился в него статистом. В 1937—1941 годах учился на актёрском факультете театрального училища; первый педагог — Михаил Еремеевич Тилькер. 7 июля 1941 года призван в армию. Прошёл курсы переподготовки начсостава в Военной академии тыла и транспорта имени Молотова в Харькове. Как лейтенант интендантской службы был отправлен на Северо-Западный фронт. Прошёл переподготовку в Рыбинске. Как строевой командир служил в штабе Северо-Западного фронта. Был начальником штаба батальона в 14-м гвардейском полку 7-й гвардейской дивизии 10-й гвардейской армии. 8 апреля 1942 года в бою у деревни Михайловка в районе Лычково старший лейтенант Б.В. Иванов был тяжело ранен и до сентября лежал в госпиталях с угрозой ампутации руки. После выписки Борис Владимирович поехал в Рыбинск, но в дороге у него украли деньги и документы. Он был вынужден остаться в городе, где работал в местном драматическом театре. С 1944 года более полувека играл в Театре имени Моссовета. Супруга — актриса Театра имени Моссовета Наталья Сергеевна Богданова. С 1961 года снимался в кино. Скончался 2 декабря 2002 года. Похоронен на Ваганьковском кладбище, участок № 19.